月への距離はどのように測ったのか？

月までの距離は約38万kmです。この距離をどのように測ったのかについて、歴史も含めて説明します。なお、数式はできるだけ使用しないとのことですが、本件については数式なしでは説明できません。相似形と三角関数だけを使用しています。

図１半月の時の太陽と月の位置

最初に測定したのは、古代ギリシャの天文学者アリスタルコスと言われています。紀元前200年代に書かれた「大きさと距離について（On the Sizes and Distances）」の中で、太陽と月の大きさ、および地球からの距離を計算し、地球の大きさの何倍であるかについて記されています。
図１に半月の時の太陽と月の位置を示します。地球からの太陽までの距離をS、月までの距離をL、太陽‐地球‐月のなす角をωとすると三角関数から、

となります。アリスタルコスの時代にはまだ三角関数は発明されてはいませんでしたが、ここでは分かり易くするため三角関数を使用します。

図２月食の時の太陽、地球、月の配置

図３計算に使用する相似三角形

図４太陽と月の視半径

次に月食の時の太陽、地球、月の配置を図２に示します。太陽、地球、月の半径をRs、Re、Rm、地球の影の円錐の頂点までの距離をD、月の位置での地球の影の半径をdとします。図３の相似する三角形は
　　　Re-d : L = Re : D
　　　Rs-Re : S = Re : D
なので、

が得られます。太陽の視直径（実際の大きさではなく地球から見た時の太陽を見込む角度）は月の視直径（月の公転軌道は楕円形であるため地球と月の距離は時とともに変化します）とほぼ同じですが、アリスタルコスはこれを同じとみなしました。すなわち、

です。これらの視直径の半分、すなわち視半径をθとすると図４から、

となります。
ここでn=d/Rm、x=Rs/Rmというパラメータを考えます。nは、月食のときの地球の影の半径dと月の半径Rmの比なので観測により数値を決定することができます。xは、(1)式と(3)式から半月のときの太陽‐地球‐月のなす角ωを観測することから求めることができます。(1)～(4)式から、

が得られ、月（と太陽）までの距離が地球半径の何倍かで示すことができました。なお、(5)式導入については https://en.wikipedia.org/wiki/On_the_Sizes_and_Distances_(Aristarchus)　を参照ください。
アリスタルコスは角ωを87°（(1)と(3)式から x=19 となります）とし、n=2、θ=1°、当時のエラトステネスの地球半径Re=7300km を(5)式に代入すると、月までの距離は L=15万km になります。角ωやθの観測値の精度は低かったのですが、オーダーの合った月までの距離が算出できたのです。

紀元前190年頃、ギリシャの天文学者ヒッパルコスはアリスタルコスと同じ題名の「大きさと距離について（On the Sizes and Distances）」を執筆しました。その本の第２巻に月までの距離測定法が書かれたようですが、著作自体は現存していません。ギリシャ天文学を集大成した「アルマゲスト（プトレマイオスが2世紀頃に作成）」にその内容が組み入られていますが、詳細は示されていないため、いろいろな研究者がヒッパルコスの計算を復元しようとしました。
1969 年にノエル・スワードロウが第２巻の復元を試みています。図５に月食の時の地球の本影、図６に相似の三角形を色で塗った図を示します。図６で、地球ならびに本影の上端から水平に引いた線で薄青色の合同な三角形ができます。これから、

図５月食の時の地球の本影

図６計算に使用する合同ならびに相似三角形

が得られ、

の関係から、

となります。桜色の三角形は互いに相似なので、

となり、(8)、(9)式から、

(10)式から、

が得られます。ここで、ヒッパルコスが観測して得た値からθ＝0.277°、φ/θ＝2.5とし、月までの距離が地球半径の67.333…倍^*とすると、(10)式から太陽までの距離Sは地球半径の490倍となります。ここで太陽が無限遠に居ると仮定すると、(11)式でSが490→∞となるため分母の第2項が0となり、月までの距離Lは地球半径の59倍となります。59という値は記録には残っていませんが、このような計算をヒッパルコスは行ったと推測されています。なお、現在の地球半径は6,378kmでその59倍は38万kmになり、月までの距離と一致します。

* ヒッパルコスの著書には「太陽が地球半径の490倍の位置にあるとしたき、月の位置に於ける地球の影の視野角度（観測値は月の視野角度の2.5倍）から得られる月までの距離は地球半径の67⅓倍になる」と書かれていたと伝えられています。

図7 アポロ11号着陸船「イーグル」と
レーザー光線反射器
（Wiki「月レーザー測距実験」より）

科学技術の進歩で、直接、月までの距離を測定することが可能となりました。地上から電波を送り、その反射が地上のアンテナに戻るまでの時間から計算するのですが、電波が弱くなるので測定精度は十分ではありませんでした。
1969 年、アポロ11 号により人類が初めて月に降り立ちましたが、その時、レーザー光線反射器（コーナーキューブ・ミラー）を月面に設置しました。地球からレーザー光を発射しますが、レーザーは余り大きくは広がらないことと、コーナーキューブ・ミラーは元来た方向に光を反射するので測定精度が上がりました。アポロ11 号の後にも、いくつかの宇宙船により反射器が置かれており、これらの反射器を利用して、現在では数cmの精度にまで測定できているとのことです。

月までの距離は一定ではなく、一番近い時には約35万㎞、遠い時には約40万㎞になります。それは、地球の周りを回る月の軌道は楕円形をしているためです。約38万キロというのはその平均の距離です。宇宙船が置いてきた反射器で測定すると、毎年約3.8㎝ずつ地球から遠ざかっていることが分かっています。