日時計の原理は？

図１日時計

時刻は時計がなくても太陽の位置から大体分かりますが、もっと正確な時間を知りたいということで考え出されたのが図１のような日時計です。ここでは日時計の指す方向や文字盤の間隔などはどのような原理に基づくのかについて説明いたします。

まず、太陽と地球の関係を見てみます。地球が太陽の周りを回ることを公転と言いますが、一周回るには1年、すなわち365日がかかります。正確には365.2422…日です。4年に1回のうるう年で1日増やします。逆にこれでは周期が長くなりすぎるので400で割り切れない100の倍数の年にはうるう年にはしないなどいくつかの調整を行って実際の公転周期に合うようにしています。

図２地球の公転と自転（出典：国立天文台ホームページ）

地球は自転もしています。太陽が真南に来ることを南中と言います。大まかには、ある日の南中から翌日の南中までの時間を1日と考えても良いと思います（正確には日により南中の時間が異なります）。図２に地球の公転と自転を示します。1年の内に365.2422回の自転と1回の公転をします。年1回の公転により、地球は1回分の自転（地球から見ると太陽が１回転する）が加わります。自転と公転の回る向きは同じなので、

南中時間周期平均（24時間）＝地球の自転周期+地球の自転周期/365.2422

の関係となり、地球の自転周期は23時間56分4秒となります。ここで注意しなければならないことは、地球の自転周期が1日の長さになるのではなく、太陽の南中から次の南中までの時間が1日の長さになることです。
地球の自転軸（地軸と言います）が地表に現れた場所が北極点と南極点です。北極点に真っ直ぐ棒を立てると地軸に重なります。その棒の影は1日に１回転（360度）、1時間で15度移動します。どの時間でも同じ回転角度となります。なお、地磁気のN極やS極は北極点や南極点とは異なった場所で、それぞれ約1000km離れています。

図３北極と日本における棒の影の位置

北極点や南極点以外のところではどうなるのでしょうか。北緯35度の日本で考えてみます。
北極点で棒OPを鉛直に立てたとします。どの時間でも良いのですが、例えば午後2時頃（北極でも日本時間を使用すると考えます）として、図３の北極での地平線上に投影された棒OPの影をOAとします。
次に日本での棒と影について考えてみます。日本での地平面上で鉛直から35度傾けた棒を北に向けて立てると、地軸と平行、すなわち北極で立てた棒と同じ向きになります。日本での地平面図と棒を北極での地平面図位置へ平行移動し、棒の端Oを合わせると図３にあるような形になります。地球の大きさに対して太陽までの距離は大きいため太陽光は平行光線となるので、日本での地平面にかかる影の投影位置は北極に行っても変化しません。ここで、日本での地平面上で棒OPの影をOBとします。
北極で考えると分かりやすいのですが、6時と18時の時の棒の影の位置は、日本での地平面と北極での地平面の交線と重なります。点Aからこの交線に垂直に下ろした位置を点Mとします。∠AOM（=φ）と∠BOM（=θ）は日本あるいは北極での影の方向、すなわち、日時計での目盛盤を示すことになります。

図４　三角錐の部分

θをどのように求めるかについて考えてみます。図３から三角錐BOMAを取り出した部分を図４に示します。長さOA＝1とするとOM＝cosφ、AM＝sinφ。⊿BOMから、
　　　BM＝OM・tanθ
　　　　＝cosφ・tanθ
⊿BMAから、
　　　BM＝AM／cos55°
　　　　＝sinφ／cos55°
　　　　＝sinφ／sin35°
これらの式より、
　　　cosφ・tanθ＝sinφ／sin35°
なので、
　　　tanθ＝tanφ／sin35°　　　　　　(1)
となります。日本での日時計の目盛盤角度θと北極での角度φ（すなわち、時刻）を関係付けたことになります。

目盛盤作成にあたっては、北極での角度φを0度～90度の範囲で計算して6時～12時の日本での目盛盤角度θを求めます。φ＝0度は6時、φ＝15度は7時、・・・、φ＝90度は12時になります。例えば、7時の北極での角度φは15度ですが、日本では式(1)からθは25.04度が得られます。日時計の目盛盤には、6時が真西、7時がそれから25.04度の方に点Oから線を引きます。12時から18時までは12時の目盛線に対しての対称になるので、折り返した目盛線になります。6時以前や18時以後については6時と18時の目盛線に対しての対称なのでそのような作図になります。

ここから先は、日時計の精度を上げる話になります。
１．方位磁石とのずれ
方位磁石（コンパス）が示す北は磁北極ですが、先に述べたように北極点（地図上の北極）とは異なっています。日本では、磁北極は北極から場所により4度～10度位の範囲で西方向にずれ（磁気偏角）ています。国土地理院磁気図から各地での偏角の量がわかります。日時計のノーモン（目盛盤に影を落として時刻を示すための部品で三角形の板や丸い棒などがよく使用されます）は北極（その場所の緯度と同じ角度で斜め上を向かせるので北極星を指すことになります）に向けるので、方位磁石が示す方向に対しその場所での磁気偏角の分だけノーモンを東方向に回転させます。

２．経度の補正
日本標準時は兵庫県明石市などを通過する東経135度の子午線上で測定された平均太陽時^*として規定されています。ただし、現在は太陽の観測ではなく複数の原子時計が利用されています。東京（都庁）は東経139°41′、福岡（県庁）は東経130°25′で、それぞれ9°41′、-4°35′の経度分だけ基準の子午線からずれているため、南中時間は日本標準時の38.7分前、18.3分後になります。そのため、この時間を補正することが必要になります。例えば東京ならば、(1)式のφ（6時では0度、7時では15度、・・・、12時では90度、・・・）に9°41′を加えて計算することになります。

＊太陽時とは、太陽が子午線の通過の時刻を正午とするという考えに基づく時刻系です。実際に太陽の位置から時間を定めるのが視太陽時です。しかし、地球の公転軌道は楕円であるなどにより季節により時間の長短が生じます。そのため、仮想的な平均太陽、すなわち、太陽の代わりに一定のスピードで動く天体を想定し、視太陽時の平均値と合うように時間にした安定な時刻系が作られました。これが平均太陽時と呼ばれるものです。

３．緯度の補正
目盛盤角度θの計算式(1)では北緯35度としましたが、実際にはその場所での緯度の数値で計算しなくてはなりません。東京（都庁）は北緯35°41′、北海道（道庁）は北緯43°25′です。例えば東京ならば、(1)式のsin35°をsin35°41′に置き換えて計算します。

４．地球の公転に関する楕円軌道や地軸の傾きによる誤差の補正
先にも述べましたが、南中から次の南中まで要する時間は、地球の１回分の自転時間だけではなく、公転に伴う自転時間の365.2422分の1が余計にかかります。ところが、図５に示すように、地球の公転は円軌道ではなく楕円軌道であるため、公転速度は太陽に近い位置では速く、遠い位置では遅くなります（ケプラーの第2法則）。そのため、南中に必要な角度は日により異なるのでその誤差を補正しなくてはなりません。

図５地球の公転に伴う必要な回転量

図２に示していますが、地軸は地球の公転軸から傾いています。この傾きが1日の時間にどのような影響を与えるのかを考えてみます。地球から空を眺めると星座が空遠くの球の内壁に置かれているように見えます。丁度プラネタリウムの丸いスクリーンのようなもので、これを天球と呼んでいます。地球から見て、1年間の太陽の経路を黄道（こうどう）、地球の赤道を地球の中心から天球まで広げたものを「天の赤道」と名付けています。黄道と天の赤道とは地軸の傾き角と同じ約23.4度の角度になっています。天球上で黄道と天の赤道とが交差する所を春分点と定義しています。ここで出てくる言葉は難しいので、別の本等で勉強して頂きたいと思います。

図６地軸の傾きに伴う必要な回転量

平均太陽が黄道上を同じ速度で回り（地球は楕円軌道ではなく円軌道と考えます）、約365.2422日で１周します。図６には、春分点ならびに夏至点について、前日の南中から23時間56分後（前日から地球が1回転した時の太陽の位置）、ならびに、前日の南中から24時間後（当日の南中時刻の太陽の位置）を表しています。
それぞれの時の太陽の経度を表す子午線（天の北極から天の赤道を通って天の南極に向かう線）を緑の線で描いています。黄道上での太陽の移動量（回転角度に相当します）をLとしますが、どの日でも同じ値になります。
一方、天の赤道上からの太陽（視太陽）のこの移動量を、春分点ではA、夏至点ではBとします。春分点にあるLとAは直角三角形を構成し、Lが斜辺なのでA＜Lとなります。夏至点にあるLとBは夏ミカンに包丁を入れ皮をむいた時の皮の幅を想像していただければわかりますが、L＜Bとなります。A＜L＜Bの関係から、春分の頃は移動量が少ないので時間が少なくて済み、夏至の頃は移動量が多いので時間がかかることが分かります。

図７南中時刻（出典：国立天文台ホームページ）

これらの地球の楕円軌道と地軸の傾きにより、太陽時には日により進みや遅れが発生します。平均太陽日に対して視太陽日は1日あたり最大で22秒短く、また29秒長くなります。1年を通してこの時間ずれを累積した例が図７です。1日ずつの時間ずれは僅かな量ですが、累積すると最大で約17分の進みや約14分の遅れになっています。これらの地球の楕円軌道と地軸の傾きにより、太陽時には日により進みや遅れが発生します。平均太陽日に対して視太陽日は1日あたり最大で22秒短く、また29秒長くなります。1年を通してこの時間ずれを累積した例が図７です。1日ずつの時間ずれは僅かな量ですが、累積すると最大で約17分の進みや約14分の遅れになっています。
視太陽時と平均太陽時の差を均時差と言います。図７の緑の線を上下反対にし、時刻12:00を0としたものです。日時計には均時差の図や表がついている場合がありますが、

日時計の示す時間－均時差

で地球の公転に関する楕円軌道や地軸の傾きによる誤差の補正をすることができます。

日時計のノーモンは地軸と同じ向きに合わせます。その地軸の先に北極星があるので、北極星に合わせることになります。地球が自転しても、北極星は地軸の延長線上にあるため動きません。しかし、地軸には歳差（さいさ）という動きがあり、長期間では位置がずれてきます。ちょうどコマが回転するときに頭を振るように、公転軸に対して半角約23.4度の円を描くように回って約25,800年の周期で一回りしています。現在はこぐま座α星（ポラリス）が地軸の先にあるため北極星となっていますが、地軸は長い年月に向きを変えるので、例えば西暦13,000年頃にはこと座のベガが北極星と呼ばれるようになると言われています。