日の出・日の入り時刻の計算の仕方は？
今年（2023年）はとても暑い夏でした。東京都心で最高気温30度以上の真夏日は88日、35℃以上の猛暑日は22日間で過去最多となり、「昼間の外出を控えよう」という防災ニュースが毎日流れました。夕方6時や7時は明るかったのが、10月になるとやっと秋らしくなり夕暮れの時間が気になります。日の出・日の入り時刻は新聞やインターネットで容易く知ることができますが、ここではこの時刻の計算の仕方についてお話しします。
計算の仕方は、大まかに考えると、太陽の高度（地平線となす角度）を時間に関する計算式（方程式）で表し、高度0 になる時間を求めると、それが日の出・日の入りの時刻になります。まず高度0について説明をします。
図１ 地平線の伏角
1.1 眼高差
太陽が地平線上にかかる時が日の出・日の入りとなりますが、地球は丸いので、図１から分かる通り、観測点の高さ（眼高）hにより地平線までの距離xが変わります。観測点から水平方向に伸ばした線に対する見かけの地平線への角度Eを地平線の伏角と言います。地球の半径r＝6,378kmを入れ、hはrより十分小さいとして計算すると、
hはm(メートル)、Eは分(度分秒の分)
となります。
観測点の高さによって日の出・日の入りの時刻が異なるので、一般には観測点h＝0での伏角、すなわち、すなわち、E＝0としています。
図２ 地平大気差
1.2 地平大気差
日の出・日の入りの時は、太陽の光は地表すれすれの位置を通るので、大気の屈折効果により光は図２のように曲がり込むようになります。この曲がる角度Rを大気差（地平大気差）と言います。大気の状態は場所や時間によりいつも変化するので、各天文台での独自の計算式や補正表を作ることが多いのですが、習慣的にはR＝35′08″ が使用されています。
図３ 太陽の視半径
1.3 太陽の視半径
日の出・日の入り時刻は、「太陽の上縁が地平線に接するとき」と定義されています。国によっては別の定義もあります。図３のように、太陽の視半径を臨む角度をSとします。地球は太陽の周りを楕円軌道で回っているので地球・太陽間の距離は日や時間により違いがあるため視半径も異なります。平均的な距離を考えるとS＝16′ となります。
図４ 視差
1.4 視差
天文学では恒星、太陽、月などの星の位置は星の中心となっています。地球の位置も地球の中心で定義されているので、地表で日の出・日の入りの時の太陽を地球の中心から見れば、図４のように地表で見た方向よりもΠ（パイ）だけ高い位置となります。これを視差と言います。日や時間により地球・太陽間の距離に違いがありますが、平均距離で計算するとΠ＝8.8″ となります。
1.5 出没高度
日の出・日の入りの時の太陽中心の高度をkとすると、
となります。このkを出没高度と言います。
次に太陽の動きについて説明します。ここで注意するのは、我々観測者は地球の座標系にいるのに太陽は星の動きの座標系にある、通常の時間（1日は24時間）と星の動きを示す時間とが異なっている、などにより幾つかの変換が必要になることです。
図５ 地平座標と赤道座標
2.1 座標
夜空を見上げる時、星は大空の大きな球に張りついているような感覚を覚えます。これを地平座標系と言い、自分のいる場所Oの真上を天頂Z、そして地図上の東西南北が座標軸になります。観測者の場所の緯度をφとします。星（恒星S）の位置は方位角（北Nから図５の点Aまでの時計回りの角度）と高度h（地平線から測った恒星Sの仰角）で表せます。
北極星を中心にして沢山の星が円弧を描いている写真をご覧になった方も多いと思います。すべての星が北極星を中心に回転しているように見えるのは，地球が1日１回転という速さで自転しているためです。太陽を除く恒星は、相対的な位置は変わらない（正確には「わずかに変わる」）ので、北極星の方向を軸にした座標系が考えられます。天の北極（北極星の方向）と天の赤道面を基準としたものが赤道座標系です。各恒星の位置は赤経α（アルファ：春分点からの点Bまでの東回りの角度）と赤緯δ（天の赤道から測った恒星の仰角）で表せます。これらの座標系についての説明はインターネットなどに沢山あるのでご覧ください。
2.2恒星時
太陽の南中から翌日の南中までの時間を1日と定義されています（日により南中の時間が少し異なるため、平均化しています）。また、地球が太陽の周りを回るのは公転ですが、その周期は365.2422…日です。1年間の時間を考えると、地球の自転による時間合計に、公転による1回分の自転（地球から見ると太陽が１回転する）時間が加わります。自転と公転の回る向きは同じなので、
南中時間周期平均(24時間)×365.2422＝地球の自転周期×(365.2422＋1)
の関係となり、地球の自転周期は23時間56分4秒となります。
北極星の周りを恒星が回る時間、すなわち、地球の自転周期を1恒星日と言い、23時間56分4秒となります。1恒星日は24時間ではなく4分ほどの違いがあるため、同じ時刻に見上げた星（星座など）は1年をかけてゆっくりと移動することになります。
恒星時とは子午線（北‐天頂‐南 を貫く円）と春分点方向のなす角度です。地球は回転しているので、日や時刻により恒星時はどんどん変わっていきます。また、同じ時でも経度が異なると恒星時は変わります。春分点が子午線を通過するときを恒星時＝0°（0時）*1としていますが、場所により恒星時が異なります。そのため何らかの基準が必要でイギリスのグリニッジを通る経度0度の子午線（本初子午線）が基準として選ばれました。この場所での恒星時をグリニッジ恒星時と呼び、記号Θ0で表します。例えば、2023年11月10日0時のグリニッジ恒星時（視恒星時）は48.896842°（3h 15m 35.242s）です。
2.3 時角
赤道座標系で恒星の位置は赤経αと赤緯δの座標で表されることを2.1節に記載しました。赤経αを組み込んだ時角という角度が用いられます。時角は子午線と[天の北極－対象とする恒星]を通る円のなす角度（図５参照）のことで、記号tで表します。
の関係があります。
2.4ユリウス日
1年は365日あるいは366日ですが、年によって変わるのは不便なため、天文学では1年を365.25日として数えるユリウス年を用います。ユリウス年の基準は2000年1月1日12時（正午）で、J2000.0（JはJulian yearの頭文字）と表記します。他に、紀元前4713年1月1日12時、1858年11月17日0時（修正ユリウス日：MJD)という基準もあります。恒星の位置計算には、通常の日付をユリウス日に変換して用います。うるう年などを考慮しているので複雑な計算式になります。なお、インターネット等で式を調べることができます。
図６ 球面三角形
2.5 座標変換
図６に示す球面を考えます。球面上の朱字で示す時角tは接線の角度です。他の角度も単位をラジアンをとします。球の半径を1（単位半径）とすると緑字で示す球面上の辺NPの長さは中心角に一致するのでφ、1/4円弧の長さはπ(パイ)/2なので辺PZの長さはπ/2－φになります。π/2から恒星Sの座標hとδをそれぞれ引くと、辺SZ、SPの長さは図に書かれたようになります。
球面三角形ZPS において、球面三角形の余弦定理から
となるので、変形して、
が得られます。これが赤道座標から地平座標への変換式になります。
2.6 太陽の位置と日の出・日の入り時刻
太陽の位置を知るには赤経αと赤緯δに関する計算式が必要です。赤経αの代わりに、赤経、観測者の経度、恒星時、ユリウス日が考慮された時角 tを利用することが多くあります。いろいろな方が計算式を提供されていますが、どれも皆複雑で本ブログの範囲から外れているため割愛します。一例として、「太陽位置の計算」（https://www.metds.co.jp/wp-content/uploads/2019/03/TE_SunPosition_160401.pdf）をご覧いただければと思います。
日の出・日の入り時の太陽の高さhは (1) 式のkとなります。はじめに書いた高度0ではなく、地平線より少し下の高度です。kには時刻が変数として入っています*2。また、δとtも時刻が変数となっています。(3)式からdを時刻変数として、
の式ができます。この式は出没方程式と呼ばれるもので、dを求めると日の出・日の入りの時刻になります。ただし、この式は解析的に解けないので数値計算などで解を出しています。